Principle Component Analysis (PCA) – nhập môn

Principle Component Analysis (PCA), đây là một kết quả rất đẹp của đại số mà ngày nay được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực: Công nghệ thông tin, Sinh học, Tài chính,..

Với dữ liệu cần phân tích ban đầu phụ thuộc nhiều biến, vấn đề là các biến này thường có tương quan với nhau sẽ bất lợi cho việc áp dụng các biến này để xây dựng các mô hình tính toán ví dụ: hồi quy… và với số biến giải thích lớn chúng ta sẽ rất khó để có cái nhìn trực quan về dữ liệu ví dụ: thị trường ta quan tâm có hàng ngàn mã cổ phiếu làm cách nào để khi quan sát dữ liệu từ hàng ngàn cổ phiếu này ta hình dung được xu hướng của toàn thị trường…

Phương pháp PCA sẽ “chiếu” (biễu diễn) dữ liệu đa chiều lên một không gian có cơ sở trực giao, tức nếu ta xem mỗi cơ sở trong không gian mới là một biến thì hình ảnh của dữ liệu gốc trong không gian mới này sẽ được biểu diễn thông qua các biến độc lập (tuyến tính). Vấn đề: nếu chuyển dữ liệu ban đầu sang không gian mới thì những thông tin đáng quan tâm của dữ liệu ban đầu liệu có bị mất? Để giải quyết vấn đề này phương pháp PCA sẽ tìm không gian mới với tiêu chí cố gắng phản ánh được càng nhiều thông tin gốc càng tốt, và thước đo cho khái niệm “thông tin” ở đây là phương sai. Một điểm hay nữa là: do các biến trong không gian mới độc lâp, nên ta có thể tính toán được tỷ lệ giải thích phương sai của từng biến mới đối với dữ liệu, điều này cho phép ta cân nhắc việc chỉ dùng số ít các biến để giải thích dữ liệu.

Các ứng dụng tự nhiên mà ta có thể nhận ra là:

– Giảm kích thước của dữ liệu.

– Nếu ta có thể giảm số chiều về 2 hoặc 3 chiều, ta có thể dùng các loại đồ thị để hiểu thêm về dữ liệu mà mình đang có, giúp ta nhìn dữ liệu trực quan hơn.

– Sử lý vấn đề tương quan giữa các biến trong dữ liệu ban đầu bằng cách sử dụng các biến mới trong không gian mà phương pháp PCA tìm được để mô tả dữ liệu.

* Chúng ta sẽ bắt  đầu bằng một ví dụ mang tính chất minh họa trực quan:

Chúng ta có 2 biến X1 và X2 có tương quan (tuyến tính), được biểu diển bằng đồ thị sau:

Ta biết rằng khi thực hiện các phân tích đa biến mà trong đó các biến có tương quan với nhau là rất khó chịu!

Ta sẽ loại bỏ sự tương quan này bằng cách xoay trục (cơ sở)

Ta thấy rằng dữ liệu trên trục mới đã giảm sự tương quan đáng kể (biến Y1 và Y2 gần như không tương quan), và sự thay đổi của dữ liệu phụ thuộc phần lớn vào biến Y1, ta có thể chỉ dung một biến Y1 để biểu diễn dữ liệu, điều này giúp ta giảm số chiều dữ liệu mà không làm giàm quá nhiều “phương sai” của dữ liệu. Đây cũng chính là tư tưởng của phương pháp PCA. Sau đây chúng ta sẽ làm rõ hơn về mặt lý thuyết của phương pháp này